Forschungskredit

Mysteriöse Primzahlen

Primzahlen helfen beim Verschlüsseln von Informationen in der Kryptographie und spielen bei der Erklärung naturwissenschaftlicher Phänomene eine wichtige Rolle. Wie Primzahlen verteilt sind, ist jedoch eines der ungelösten Probleme der Mathematik. Michael Rassias vom Institut für Mathematik forscht über sie und wird dabei vom Forschungskredit der UZH unterstützt.

Lena Serck-Hanssen

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Erforscht die Verteilung der Primzahlen: Michael Rassias vom Institut für Mathematik der UZH. (Bild: Lena Serck-Hanssen)

2, 3 und 5, aber auch 7, 11 und 13 – diese Zahlen haben eines gemeinsam: Sie sind Primzahlen. Ihre Folge könnte ins Unendliche erweitert werden – das ist mathematisch bewiesen. Doch das Erscheinen und die Verteilung dieser Zahlen, die nur durch sich selbst und 1 teilbar sind, scheint zufällig. Manchmal gibt es zwei nahe benachbarte Primzahlen wie 11 und 13 – sogenannte Zwillinge. Manchmal ist ihr Abstand aber auch viel grösser. Wie die Primzahlen genau verteilt sind, ist eines der grössten noch ungelösten Mysterien der Mathematik.

Einer, der sich mit diesem Mysterium befasst, ist Michael Rassias, Postdoktorand in der Gruppe von Professor Ashkan Nikeghbali am Institut für Mathematik der Universität Zürich. Die Primzahlen sind die Bausteine aller ganzen Zahlen. Entweder ist eine ganze Zahl selber eine Primzahl oder sie setzt sich aus Primzahlen zusammen. Die Zahl 12 zum Beispiel ist das Produkt von sogenannten Primfaktoren, also mehreren miteinander multiplizierten Primzahlen: 2 mal 2 mal 3.

«Bis jetzt gibt es noch keine effizienten Methoden, die Primfaktoren von sehr grossen Zahlen zu bestimmen», erklärt Rassias. Diese Tatsache macht sich die Kryptographie – die Verschlüsselung von Daten – zunutze. Indem zwei sehr grosse Primzahlen miteinander multipliziert werden, entsteht eine neue, sehr grosse Nicht-Primzahl. In ihr verstecken sich die Primfaktoren, die mit gängigen Techniken nur sehr schwer zu finden sind.

Eine Vermutung als Knackpunkt

Mehrheitlich forscht Rassias über die Lücken zwischen den Primzahlen und über das Verhalten von bestimmten Funktionen – den sogenannten Cotangent-Summen im Zusammenhang mit dem Nyman-Beurling Kriterium. Diese Funktionen könnten in Zukunft helfen, die sogenannte Riemannsche Vermutung zu beweisen. Der deutsche Mathematiker Bernhard Riemann stellte 1859 eine mathematische Vermutung auf, die einen Hinweis darauf geben kann, wieviele und wie die Primzahlen in einem bestimmten Intervall verteilt sind. Seit der Antike haben viele bedeutende Mathematiker versucht herauszufinden, wie die Primzahlen im Meer der ganzen Zahlen verteilt sind.

Bisher bestätigen alle Berechnungen die Vermutung von Riemann. Ebenso basieren unzählige mathematische Arbeiten und Beweise auf dieser Vermutung und es wurden viele Anwendungen von ihr entdeckt, sogar in der Kernphysik. Doch bewiesen ist die Vermutung noch nicht, auch wenn seit über 150 Jahren daran geforscht wird.

So präsentierte im Jahre 1900 der deutsche Mathematiker David Hilbert am internationalen Mathematik-Kongress in Paris die Riemannsche Vermutung als eines von 23 ungelösten Mathematik-Problemen, die er für das 20. Jahrhundert als wesentlich ansah.

Genau hundert Jahre später bezeichnete das Clay Mathematics Institute die Riemannsche Vermutung erneut als eines der sieben Millennium-Probleme der Mathematik und versprach für deren Lösung ein Preisgeld von einer Million US-Dollar. Michael Rassias selber hat zusammen mit dem US-Mathematiker und Nobelpreisträger John Forbes Nash das Buch «Open Problems in Mathematics» herausgegeben, in dem die Riemannsche Vermutung ebenfalls eine prominente Rolle einnimmt.

Viele Puzzleteile führen zur Lösung

«In der Mathematik ist es nicht unüblich, dass ein Problem während hundert oder mehr Jahren bekannt, jedoch unlösbar ist», sagt Rassias. «Plötzlich präsentieren dann zwei voneinander unabhängige Personen fast gleichzeitig die Lösung dafür.» Der Mathematiker erklärt diese Tatsache damit, dass die für die Lösung eines Problems notwendigen Techniken und Lösungsansätze langsam aber stetig von einer Vielzahl von Mathematikern erarbeitet würden, bevor sich scheinbar plötzlich der Durchbruch ergebe. Dies könnte auch bei der Riemannschen Vermutung zutreffen.

Heute weiss niemand, wie lange dies noch dauern wird. «Wenn die Riemannsche Vermutung bewiesen werden könnte, käme dies einer Revolution gleich», sagt Rassias. Einerseits wäre dann vieles mit Sicherheit bewiesen. Andererseits sei davon auszugehen, dass Mathematiker dann über Techniken verfügten, um auch andere bisher unlösbare Probleme zu verstehen. «Dies hätte weitreichende Konsequenzen, zum Beispiel in der Kryptographie», sagt Rassias. So nimmt man an, dass mit diesen Techniken einige der bekanntesten Verschlüsselungsmethoden einfach geknackt werden könnten. Und was passiert, wenn der Gegenbeweis erbracht wird? «Dann hätten wir ein Problem», räumt Rassias lächelnd ein – und das Understatement ist unüberhörbar.

Inspirierende Geschichte der Mathematik

Rassias studierte erst Elektrotechnik und Informatik in Athen, bevor er sich ganz der Mathematik zuwandte. Nach Studien- und Forschungsaufenthalten an der Cambridge University, an der ETH Zürich und an der Princeton University ist er glücklich, sein Postdoc mit Hilfe des Forschungskredits an der UZH weiterführen zu können. Neben den Primzahlen beschäftigen ihn auch andere mathematische Probleme – unter anderem der Analysis und der Zahlentheorie. Gleichzeitig liebt er es, zu unterrichten.

Selber war er schon als Kind von Mathematik fasziniert und nahm mit grossem Erfolg an zahlreichen Mathematik-Wettbewerben teil. «Eine inspirierende Lehrperson ist immens wichtig, um das Interesse für Mathematik zu wecken», ist Rassias überzeugt. Dass er selber ein solch inspirierender Lehrer ist, daran kommt kein Zweifel auf. Während er mit beeindruckender Leichtigkeit die unglaublichsten Formeln an die Tafel zaubert, ist sein lebhafter Erzählstrom gespickt mit erstaunlichen - manchmal witzigen, manchmal tragischen – Anekdoten aus der Geschichte der Mathematik.

Es ist zu hoffen, dass Rassias seinen Studierenden bald ein neues Kapitel in der Geschichte der Primzahlen erzählen kann.

Lena Serck-Hanssen ist freie Journalistin.

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