Mit Zahlen spielen

Claire Burrin ist fasziniert von Zahlen. Nicht von Brüchen, Wahrscheinlichkeiten oder Differenzialgleichungen, nur von normalen ganzen Zahlen. Mit diesen beschäftigt sich in der Mathematik die Zahlentheorie.

Burrin ist mit ihrem Interesse in guter und antiker Gesellschaft. Denn gemeinsam mit der Geometrie ist die Zahlentheorie der allerälteste Zweig der Mathematik. So kennt man fast 4000 alte Tontafeln aus dem alten Babylonien mit Tabellen zu Kehrwerten, Produkten und Kombinationen von natürlichen Zahlen. Und schon Aristoteles tüftelte im 4. Jahrhundert v. Chr. an Primzahlen – jenen Zahlen, die nicht durch andere Zahlen geteilt werden können, etwa 2, 3, 7, 11, 17, 19, 23, 37, und so weiter. «Primzahlen sind quasi die Atome der Mathematik – die Bausteine, aus denen alle Zahlen aufgebaut sind», sagt Burrin.

Aber ist dieses Herumrätseln an Zahlen nicht eine staubtrockene Materie? «Hm.» Die Assistenzprofessorin schaut mich auf diese Frage hin kurz nachdenklich an. «Ich gebe dir ein Beispiel: Nimm irgendeine Zahl, sagen wir 10. Ist die Zahl gerade, teilen wir sie durch zwei, das gibt 5. Ist sie aber ungerade, wie jetzt 5, multiplizieren wir sie mit 3 und addieren dazu 1. Damit sind wir bei 16. 16 ist wieder gerade und wir rechnen durch 2, dann sind wir bei 8 und machen dasselbe wieder, kommen auf 4, dann 2, und wir landen bei 1.» So weit, so gut, dem kann ich folgen. «Das funktioniert immer», fährt Burrin fort. «Wir landen immer bei 4, 2, 1. Bei jeder Zahl, mit der wir anfangen.» «Bei jeder Zahl?», frage ich. «Immer? Auch zum Beispiel bei 2357?» Nun grinst Burrin. «Siehst du, schon bist du neugierig.»

Erwischt. Ja, ich will es wissen und finde die Zahlenspielerei gar nicht trocken. Hinzu kommt: Es ist viel mehr als Spielerei. Denn offenbar sind manche Zahlenverhältnisse und -reihen so mächtig, dass sie die gesamte Natur durchdringen (siehe Box). Zum Beispiel die Fibonacci-Folge, bei der jede Zahl die Summe der beiden vorherigen Zahlen bildet: 0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … Dieser Reihe folgen etwa die Proportionen der spiralförmigen Schalen von Nautilussen oder die Schuppen von Tannzapfen, Ananassen und Artischocken.

Doch warum ist das so? Die Antwort darauf kennt man zumindest teilweise. So sorgen die Fibonacci-Spiralstrukturen bei Pflanzen dafür, dass Blätter oder Samen sich möglichst wenig überdecken und Licht, Platz und Nährstoffe zusammen optimal nutzen. Die simple mathematische Beziehung sorgt hier also gleichzeitig für Effizienz und Ästhetik.

Weniger ästhetisch ist es in Burrins Büro, direkt karg nämlich. Hier gibt es kaum Mobiliar und an den Wänden hängt kein einziges Bild. Einige wenige Papiere und Bücher stapeln sich ungeordnet auf dem Regal und auf dem Schreibtisch. Auf diesem stehen sonst nur noch ein Bildschirm und ein Laptop. All dies scheint auf den ersten Blick zum Stereotyp von Mathematikerinnen und Mathematikern zu passen, zur Vorstellung, dass sie in anderen Sphären denken als Normalsterbliche und dass ihre Arbeit vor allem im Kopf stattfindet.

Was aber in Burrins Büro lebhaft wirkt, ist die Wandtafel. Diese nimmt eine ganze Seite des Raums ein und ist komplett vollgezeichnet und -geschrieben. Dabei fliessen manche Elemente in andere hinein und man sieht den Skizzen und Formeln an, dass sie Schicht für Schicht entstanden sind. «Ich brauche die Wandtafel jeden Tag», erzählt Burrin. Nicht um für sich allein an Formeln zu tüfteln, sondern um mit Kolleginnen und Kollegen und ihren Teammitgliedern zusammenzuarbeiten. Um Ideen aufzuzeichnen und darüber zu diskutieren. Dies wiederum passt so gar nicht zum Klischee der verkopften Mathematikerin, die im stillen Kämmerchen über Zahlen und Theorien brütet. «Im Gegenteil, Mathematik ist extrem kooperativ und sozial», sagt Burrin. Klar, ein Teil ihrer Forschung besteht darin, mathematische Fachartikel zu lesen und zu experimentieren, meist mithilfe numerischer Computermodelle. Doch viel Zeit verbringt die Mathematikerin auch damit, mit Kolleginnen und Kollegen Ideen auszutauschen und herauszufinden, ob Burrins Überlegungen sie vielleicht an etwas erinnern, das sie aus einem anderen Zusammenhang kennen.

Diesen Vormittag hat sie zum Beispiel mit einem Studenten an der Tafel die Idee für eine Masterarbeit besprochen. Sie zeigt auf die Skizze unten rechts: ein zweidimensionales Gitter aus Parallelogrammen in Weiss, und auf jedem Eckpunkt der Vierecke ist mit gelber Kreide ein Kreis gemalt. «Die Frage ist, wie wir die Kreise am platzsparendsten anordnen», erklärt Burrin. In zwei und auch drei Dimensionen kann man das noch aufzeichnen und sich im Kopf vorstellen. Bei drei Dimensionen ist die Antwort die Kanonenkugelpackung, also eine Pyramide aus aufeinandergestapelten Kugeln. Doch: «Für die meisten höheren Dimensionen haben wir noch keine Vorstellung davon, wie die dichteste Packung aussehen würde.» So abstrakt diese Überlegung wirken mag, sie hat eine konkrete Bedeutung. Sie könnte nämlich dafür verwendet werden, möglichst dichte Datenpakete für die elektronische Übertragung von Informationen zu schnüren.

Ein Beispiel für ein omnipräsentes Zahlenverhältnis in der Natur ist der berühmte goldene Schnitt – dieses Verhältnis, das auch Architekten, Fotografinnen und Designer stets anstreben, weil sie wissen, dass wir diese Proportionen als besonders harmonisch und schön empfinden. Dessen recht simple mathematische Beziehung lautet: Eine Strecke ist im goldenen Schnitt geteilt, wenn die längere der beiden Teilstrecken mit der kürzeren im gleichen Verhältnis steht wie die gesamte Strecke zur längeren. Oder als Formel: a/b=(a+b)/a. Dieses einfache Verhältnis findet sich gleich zigfach in der Natur. So entspricht etwa die Länge des Vorder- und des Hinterleibs von Insekten, etwa von Bienen und Wespen, diesen Proportionen. Oder auch die fünfblättrigen Blüten unzähliger Pflanzenarten: Hier formen die Blüten ein regelmässiges Fünfeck, deren Seiten im goldenen Schnitt mit den Diagonalen stehen.

Ganz ähnlich verhält es mit der Fibonacci-Folge, die nicht ganz, aber annähernd dieselben Proportionen erzeugt. So sind die Schuppen von Tannzapfen, die Samen von Sonnenblumen oder die Röschen des Blumenkohls in Spiralen angeordnet, deren Anzahl meist aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen sind. Diese beiden bestechend simplen mathematischen Zahlenverhältnisse haben sich also in der Evolution zigfach unabhängig voneinander durchgesetzt.

Burrin selbst geht es bei ihrer Forschung allerdings nicht um konkrete Anwendungen. Ihr Antrieb ist die schiere Neugier, etwas verstehen zu wollen. Meist untersucht sie mithilfe von Gittern Symmetrieeigenschaften von Oberflächen und wie bestimmte numerische Invarianten – das sind Grössen, die bei mathematischen Operationen unverändert bleiben – mit ihnen zusammenhängen. «Ich kombiniere quasi geometrische und zahlentheoretische Aspekte, um diese Beziehungen besser zu verstehen», sagt Burrin.

Ein einfaches Beispiel für die Beziehung zwischen Zahl und Form ist der Kreis. Eine perfekt symmetrische Figur. Um ihren Radius und Durchmesser zu berechnen, benötigen wir die Zahl π. Pi beginnt mit 3,14159… und ist eine sogenannte transzendente Zahl: Sie ist unendlich lang und komplex, denn sie hat keine bekannten wiederkehrenden Folgen oder Muster. Es scheint unfassbar, dass diese komplett chaotische Zahl die ideale Form beschreibt. Für Burrin liegt darin eine wundersame Schönheit.

«Jede mathematische Erkenntnis beginnt als eine theoretische, vielleicht naiv anmutende Frage von jemandem, der die Symmetrie einer Form oder den Ursprung eines Musters verstehen will», sagt die Mathematikerin. «So können abstrakte Ideen die Welt und unseren Alltag stark prägen – manchmal erst Jahrhunderte nachdem sich die Ersten damit befasst haben.»

Ein Beispiel dafür sind Aristoteles’ Primzahlen. Spannend an ihnen ist: Selbst zwei sehr grosse Primzahlen miteinander zu multiplizieren, ist einfach. Das erledigen Computer heute innert Millisekunden. Aber das Umgekehrte, also das Zerlegen eines Produkts zurück in die Primzahlen – die Zahlentheoretiker nennen das faktorisieren –, ist ungleich schwieriger. Vor allem bei sehr grossen Zahlen. Denn schliesslich können Zahlen in der Mathematik unendlich gross sein. Sobald also eine Zahl einige hundert Stellen lang ist, brauchen Algorithmen für die Faktorisierung unfassbar lange, so lange, dass es praktisch gesehen unmöglich ist. Genau darum ist dieser Vorgang ein Teil moderner Verschlüsselungsverfahren wie SSL/TLS und SSH. Über diese Protokolle ist fast alles verschlüsselt, was wir übers Internet senden, von E-Mails bis zu den Passwörtern fürs E-Banking, und dies in unfassbar hohen Dimensionen.

Neu unterstützt KI die mathematischen Forschung in x Dimensionen. Computerprogramme können Beweise überprüfen und komplexe Strukturen untersuchen, die menschliche Kräfte übersteigen. Zudem hilft KI beim Programmieren mathematischer Algorithmen und sorgt so für mehr Effizienz. Auch Burrin nutzt KI. Doch die menschliche Kreativität bleibe unersetzlich, sagt sie: «Wir Menschen stellen die Fragen und denken uns mögliche Lösungen aus. Und nach wie vor müssen wir Ergebnisse hinterfragen und zwischen blossem Output und verlässlichem Wissen unterscheiden.»

Stichwort verlässliches Wissen: Wie ist es nun mit dem anfänglich gestellten Zahlenrätsel, bei dem man immer bei 4,2,1 landet? Funktioniert das wirklich bei jeder Zahl? Die Antwort lautet: Man weiss es nicht. Denn so einfach diese Rechnung ist – einen mathematischen Beweis dafür gibt es noch nicht. «Mithilfe von Algorithmen hat man das mit sehr hohen Zahlen durchexerziert, und bisher funktioniert es bei jeder», sagt Burrin. Aber: Solange es keinen mathematischen Beweis gibt, ist es eben möglich, dass es bei einer sehr speziellen Zahl nicht funktioniert. Auch das sei das Schöne an der Mathematik, sagt Burrin, dass auch scheinbar simple Rätsel schwierig zu lösen sind. Wenn aber eine mathematische Beziehung einmal bewiesen ist, dann gilt das überall und immer. Eine Wahrheit für die Ewigkeit.